Kapitola 2: Booleovská algebra a jej súvisiace počítačové komponenty
2.1 Základné booleovské operátory
Predpokladajme, že ja (autor) som vysoký a vy (čitateľ) ste vysoký. Ak sa vás niekto opýta, či sme obaja vysokí, odpoviete „Áno“ (pravda). Ak sa spýta, či sme obaja nízky, povedali by ste „Nie“ (nepravda). Ak ste nízky a ja vysoký a on sa vás spýta, či ste vy alebo ja vysoký, vaša odpoveď bude „Áno“ (pravda). Ak sa spýta, či ste vy aj ja vysokí, nemali by ste odpoveď. Môžete povedať, že posledná otázka by sa nemala klásť alebo že otázka nemá odpoveď. Chcem, aby ste vy (čitateľ) vedeli, že dnes by sa za určitých okolností mala otázka položiť.
V biológii je človek buď vysoký alebo nízky. Sú to „environmentálne“ podmienky, ktoré spôsobujú, že osoba má strednú výšku. Jeden vedec, George Boole, definoval súbor odpovedí alebo pravidiel pre tento druh otázok. Tieto pravidlá sa naučíme v tejto časti online kariérneho kurzu (kapitola). Tieto pravidlá sa dnes používajú vo výpočtovej technike, programovaní, elektronike a telekomunikáciách. V skutočnosti by ste bez týchto pravidiel nemali počítač, ako je to dnes bežné; nemal by si aj programovanie, ako je to dnes bezne.
Pravda alebo lož
Jednoduché tvrdenie v ľudskom jazyku je buď pravdivé alebo nepravdivé. Ak poviem: „Som vysoký“, je to buď pravda, alebo nepravda. Ak poviem „si vysoký“, je to buď pravda, alebo nepravda. Ak som vysoký a ty si nízky, a otázka je položená, či sme vy aj ja vysokí, v booleovskej logike musí byť odpoveď pravdivá alebo nepravdivá. Ktoré z týchto dvoch treba dať? Boole na túto otázku skutočne neodpovedal. Jednoducho vymyslel súbor pravidiel, ktorými by sme sa mali riadiť. Dobrou správou je, že keď sa budete riadiť týmito pravidlami v ich správnom kontexte, nebudete mať žiadne nejasnosti. Vďaka týmto pravidlám dnes máme počítače a programovanie. Teraz sú vám dané pravidlá. Pravidlá sa naozaj nedajú vysvetliť; len ich prijmeš. Pravidlá sú pod tromi hlavičkami: AND, OR a NOT.
A
Otázku možno položiť, či ste vy aj ja vysokí. Moja výška a vaša výška sa potom skombinujú podľa súboru pravidiel AND. Toto sú pravidlá AND, ktoré treba dodržiavať:
nepravda A nepravda = nepravda
nepravda A pravda = nepravda
pravda A nepravda = nepravda
pravda A pravda = pravda
Teraz nech vysoký je pravdivý a krátky je nepravdivý. To znamená, že ak ja som krátky A ty si nízky, ty a ja sme malí. Ak som ja nízky A ty si vysoký, ty a ja sme nízki; to je boolovská odpoveď, ktorú musíte akceptovať. Ak som ja vysoký A ty si nízky, ty aj ja sme nízki. Ak som vysoký A ty si vysoký, ty a ja sme vysokí. Toto všetko sú A Booleovské pravidlá, ktoré vy (čitateľ) jednoducho musíte akceptovať.
ALEBO
Otázku možno položiť, či ste vy ALEBO ja vysoký. Moja výška a vaša výška sú potom spojené pomocou súboru pravidiel ALEBO. Toto sú pravidlá OR, ktoré treba dodržiavať:
nepravda ALEBO nepravda = nepravda
nepravda ALEBO pravda = pravda
pravda ALEBO nepravda = pravda
pravda ALEBO pravda = pravda
Opäť nech vysoký je pravdivý a krátky je nepravdivý. To znamená, že ak som krátky ALEBO vy ste krátky, vy ALEBO ja som krátky. Ak som nízky ALEBO ty si vysoký, ty alebo ja sme vysoký. Ak som ja vysoký ALEBO ty si nízky, ty ALEBO ja som vysoký. Ak som vysoký ALEBO vy ste vysoký, vy alebo ja ste vysoký. Toto všetko sú boolovské pravidlá, ktoré musíte akceptovať.
NIE
Teraz v booleovskej logike existujú iba dva stavy (možné odpovede). To znamená, že ak nie ste vysoký, ste nízky. Ak NIE STE nízky, ste vysoký; nič viac. Toto sú NIE pravidlá, ktoré treba dodržiavať:
NOT false = true
NOT true = nepravda
Predpokladajme, že máte šnúrku (alebo pružinu), ktorú môžete predĺžiť (zatiahnuť). Keď je struna vo svojom prirodzenom stave, ak poviem: „NIE krátka“, predĺžili by ste ju; taký je výklad. Keď je šnúrka natiahnutá, ak poviem „NIE je dlhá“, dovolíte jej, aby sa stiahla; taký je výklad.
Musíte si zapamätať všetky dané pravidlá v ich rôznych kategóriách.
Viac ako dva operandy
V počítačovom jazyku sa AND, OR a NOT nazývajú operátormi. Pre operátora NOT potrebujete na odpoveď iba jeden operand (hodnota pre operátora). Pre operátory AND alebo OR môžete mať viac ako dva operandy. Predchádzajúce prípady ukazujú dva operandy pre AND a OR. Môžete mať tri operandy pre AND takto:
nepravda A nepravda A nepravda = nepravda
nepravda A nepravda A pravda = nepravda
Toto sú dva riadky; každý má dva operátory AND. V skutočnosti existuje deväť riadkov, keď sú operandy tri. S operátorom AND sa iba posledný riadok (deviaty riadok) rovná true; všetky predchádzajúce riadky sú nepravdivé. Všimnite si, že pri dvoch operandoch pre AND je stále pravdivý iba posledný riadok; všetky predchádzajúce tri riadky sú nepravdivé. Keď sú operandy štyri, existuje 16 riadkov a iba posledný riadok platí pre operátor AND.
Vzor pre AND a vzor pre ALEBO sú rôzne. Pri troch operandoch pre dvoch operátorov OR je tiež deväť riadkov a iba prvý riadok je tentoraz nepravdivý. Druhý až deviaty riadok je pravdivý. Všimnite si, že pri dvoch operandoch pre OR je stále pravdivý iba prvý riadok; všetky zvyšné tri riadky sú nepravdivé. Keď sú operandy štyri pre OR, existuje aj 16 riadkov.
Operátor NOT sa zaoberá iba jedným operandom. NEPRAVDA je pravda a NEpravda je nepravda.
2.2 Tabuľka pravdivosti dvoch operandov a ich elektronické komponenty
V matematike existuje téma nazývaná algebra. Malá časť z toho bola videná v predchádzajúcej kapitole. Existuje druh algebry nazývaný Booleovská algebra. V Booleovej algebre je pravda identifikovaná základnou dvojčíslicou, ktorá je 1 a nepravda je identifikovaná základnou dvojcifernou hodnotou, ktorá je 0.
Vnútorné komponenty počítačovej jednotky sú elektronické komponenty. Systémová jednotka počítačového systému má digitálne elektronické komponenty. Operáciu AND vykonáva malý elektronický komponent nazývaný hradlo AND. Operáciu OR vykonáva malý elektronický komponent nazývaný brána OR. Operáciu NOT vykonáva malý elektronický komponent nazývaný brána NOT. Príliš veľa týchto brán môže byť v čipe Integrated Circuit (IC).
A Tabuľka pravdy a jej brána
Nasledujúca tabuľka uvádza pravdivostnú tabuľku AND a jej symbol brány AND (malý obvod):
Pre pravdivostnú tabuľku AND a jej hradlo sú A aj B dve vstupné premenné. Q je výstupná premenná. A je buď 1 alebo 0. B je buď 1 alebo 0. Q je buď 1 alebo 0. Pravdivostná tabuľka AND s jednotkami 1 a 0 je rovnaká ako predchádzajúce rozloženie pravdivosti typu pravda/nepravda AND (tabuľka). A rovnica je:
A B = Q
kde bodka (.) znamená AND (Boolean). Bodku možno vynechať, aby mala AB = Q, čo znamená to isté (A).
Poznámka: Bity pre A a B v štyroch riadkoch ako páry sú prvé štyri čísla v základnej dvojke začínajúce od 0 (alebo 00), t. j. 00, 01, 10, 11.
Nasledujúca tabuľka uvádza pravdivostnú tabuľku OR a jej symbol brány OR (malý obvod):
Pre pravdivostnú tabuľku OR a jej hradlo sú A aj B dve vstupné premenné. Q je výstupná premenná. Pravdivostná tabuľka ALEBO s jednotkami 1 a 0 je rovnaká ako predchádzajúca tabuľka pravda/nepravda ALEBO pravdivosť.
Rovnica OR je:
A + B = Q
Kde + tu znamená boolovské ALEBO a nie sčítanie. Rovnica sa číta ako „A alebo B sa rovná Q“.
Nasledujúca tabuľka uvádza tabuľku pravdy NOT a jej symbol brány NOT (malý obvod):
Tabuľka pravdy NOT alebo brána NOT má iba jeden vstup a jeden výstup. Keď je vstup 0, výstup je 1. Keď je vstup 1, výstup je 0. Hradlo NOT robí druh inverzie. Výstupná premenná je rovnaká ako vstupná premenná, ale s čiarou (prečiarknutá). Tabuľka pravdy NOT s jednotkami 1 a 0 je rovnaká ako predchádzajúca tabuľka pravda/nepravda ALEBO pravdivosť (tabuľka).
Rovnica NOT je:
A = Q
Kde Q = A a čiara nad A tu znamená doplnok. Doplnok 0 je 1 a doplnok 1 je 0. Hradlo NOT je známe aj ako INVERZNÉ hradlo.
Toto sú základné (alebo koreňové) pravdivostné tabuľky a ich brány (malé obvody) v digitálnej elektronike (s Booleovou algebrou). Ďalšie tri pravdivostné tabuľky, ktoré sú uvedené na nasledujúcom obrázku, a ich brány sú pre pohodlie a sú založené na predchádzajúcich troch pravdivostných tabuľkách.
Existuje pravdivostná tabuľka a brána, ktoré sú odvodené od pravdivostnej tabuľky a brány AND. Nazývajú sa pravdivostná tabuľka NAND (pre NOT AND) a zodpovedajúca brána NAND. Tabuľka pravdy NAND a jej brána NAND sú:
Ak chcete získať pravdivostnú tabuľku NAND, prejdite na výstup pravdivostnej tabuľky AND a nahraďte každú číslicu jej doplnkom. Doplnok 0 je 1 a doplnok 1 je 0. Hradlo NAND je ako hradlo AND, ale pred výstupným riadkom má malý kruh. Rovnica NAND je:
Kde znamená doplnenie výsledku „A“ A „B“. Tyč (nad čiarou) je v bráne znázornená malým kruhom. Všimnite si, že bodku medzi A a B možno vynechať.
Existuje ďalšia pravdivostná tabuľka a brána, ktoré sú odvodené od pravdivostnej tabuľky a brány OR. Nazývajú sa pravdivostná tabuľka NOR (pre NOT OR) a zodpovedajúca brána NOR. Tabuľka pravdy NOR a jej brána NOR sú:
Ak chcete získať pravdivostnú tabuľku NOR, prejdite na výstup pravdivostnej tabuľky OR a nahraďte každú číslicu jej doplnkom. Doplnok 0 je 1 a doplnok 1 je 0. Hradlo NOR je ako hradlo OR, ale pred výstupným riadkom má malý kruh. NOR rovnica je:
Kde 
znamená doplnenie výsledku „A“ ALEBO „B“. Pruh (overline) je v bráne znázornený malým kruhom.
Exkluzívne OR (XOR)
Pravdivostná tabuľka pre bránu OR je:
V normálnej angličtine nie je jasné, či má posledný riadok 1 ALEBO 1 dávať 1 alebo 0. V Booleovej algebre teda existujú dva druhy pravdivostných tabuliek OR a dve zodpovedajúce brány. Pri normálnom OR dáva posledný riadok 1 ALEBO 1 1. Ďalším typom ALEBO je exkluzívne OR (XOR), kde prvé tri riadky sú rovnaké ako prvé tri riadky normálneho OR (vrátane výstupu). Avšak pre štvrtý a posledný riadok 1 ALEBO 1 dáva 0.
Nasledujúca tabuľka uvádza pravdivostnú tabuľku XOR a jej symbol brány XOR (malý obvod):
Pre pravdivostnú tabuľku XOR a jej bránu sú „A“ aj „B“ dve vstupné premenné. „Q“ je výstupná premenná.
Rovnica XOR je:
A ⊕ B = Q
Kde ⊕ tu znamená booleovský XOR.
Normálne OR znamená jedno alebo oboje. Exclusive OR znamená prísne buď a nie oboje.
2.3 Booleovské postuláty
Postuláty sú predpoklady, na základe ktorých sa vyvodzujú určité závery. Existuje desať booleovských postulátov, ktoré vychádzajú z rovníc AND, OR a NOT (pravdivé tabuľky). Tieto rovnice sa tiež nazývajú funkcie. Základné funkcie sa prekopírujú takto:
Toto sú základné funkcie (rovnice) v Booleovej algebre. Nasledujúce ďalšie tri (funkčné) rovnice nie sú základnými funkciami:
Hoci posledná funkcia je tu zvláštna, nepovažuje sa za základnú funkciu.
Booleovské postuláty sú nasledovné:
Z funkcie AND
1) 0. 0 = 0
dvadsať . 1 = 0
3) 1. 0 = 0
4) 1. 1 = 1
Z funkcie OR
5) 0 + 0 = 0
6) 0 + 1 = 1
7) 1 + 0 = 1
8) 1 + 1 = 1
Z funkcie NOT
9) 0 = 1
10) 1 = 0
Poznámka: Tieto postuláty sú len riadky v pravdivostných tabuľkách AND, OR a NOT, ktoré sú vyjadrené nezávislým spôsobom. Čitateľ by si mal dané postuláty zapamätať.
2.4 Booleovské vlastnosti
Vlastnosť je ako charakteristika niečoho. Booleovské vlastnosti sú rovnice, ktoré sú odvodené z boolovských postulátov. V tejto časti sú vlastnosti jednoducho uvedené bez ich odvodení a potom sa používajú. Existuje dvadsaťpäť vlastností, ktoré sú zoskupené pod desiatimi nadpismi takto:
Vlastnosti funkcie AND
Vlastnosť 1:
Kde X môže byť 1 alebo 0. To znamená, že bez ohľadu na to, čo je X, výsledok je vždy 0.
Poznámka: Premenná nemusí byť nevyhnutne A alebo B alebo C alebo D. Premenná môže byť W alebo X alebo Y alebo Z alebo akékoľvek iné písmeno.
Vlastnosť 2:
Kde X môže byť 1 alebo 0. Všimnite si, že rozdiel medzi vlastnosťou 1 a vlastnosťou 2 je ten, že na ľavej strane znamienka rovnosti oboch rovníc sú polohy X a 0 zamenené.
Vlastnosť 3:
Ak X je 0, potom 0, 1 = 0. Ak X je 1, potom 1, 1 = 1.
Vlastnosť 4:
Ak X je 0, potom 1. 0 = 0. Ak X je 1, potom 1. 1 = 1. Všimnite si, že rozdiel medzi vlastnosťou 3 a vlastnosťou 4 je ten, že na ľavej strane oboch rovníc sú polohy X a 1 sú zamenené.
Vlastnosti funkcie OR
Vlastnosť 5:
Kde X môže byť 1 alebo 0. To znamená, že ak X je 0, výsledok je 0. Ak X je 1, výsledok je 1.
Vlastnosť 6:
Kde X môže byť 1 alebo 0. Všimnite si, že rozdiel medzi vlastnosťou 5 a vlastnosťou 6 je v tom, že na ľavej strane oboch rovníc sú polohy X a 0 zamenené.
Vlastnosť 7:
Ak X je 0, potom 0 + 1 = 1. Ak X je 1, potom 1 + 1 = 1.
Vlastnosť 8:
Ak X je 0, potom 1 + 0 = 1. Ak X je 1, potom 1 + 1 = 1. Všimnite si, že rozdiel medzi vlastnosťou 7 a vlastnosťou 8 je ten, že na ľavej strane oboch rovníc sú pozície X a 1 sú zamenené.
Vlastnosti týkajúce sa kombinácie premennej so sebou samým alebo s jej doplnkom
Vlastnosť 9: 
To znamená: ak X je 0, potom 0. 0 = 0. Ak X je 1, potom 1 . 1 = 1.
Vlastnosť 10:
To znamená: ak X je 0, potom 0. 1 = 0. Ak X je 1, potom 1. 0 = 0.
Pre po sebe idúce premenné sa táto vlastnosť stáva:
Nehnuteľnosť 11:
To znamená: ak X je 0, potom 0 + 0 = 0. Ak X je 1, potom 1 + 1 = 1 (z normálneho OR).
Nehnuteľnosť 12:
To znamená: ak X je 0, potom 0 + 1 = 1. Ak X = 1, potom 1 + 0 = 1.
To znamená: ak X je 0, potom 0 + 1 = 1. Ak X = 1, potom 1 + 0 = 1.
Dvojité doplnenie
Vlastnosť 13:
Keď X na ľavej strane je 0, X na pravej strane je 0. Keď X na pravej strane je 1, X na ľavej strane sa stáva 1. Inými slovami, dvojité doplnky vrátia pôvodnú hodnotu.
Komutatívny zákon
Vlastnosť 14:
To znamená, že na zámene prvého a druhého operandu pre operátor AND na ľavej strane znamienka rovnosti nezáleží; odpoveď je stále rovnaká aj po výmene na ľavej strane. Táto rovnica môže byť napísaná s vynechanými bodkami ako: XY = YX.
Nehnuteľnosť 15:
Vysvetlenie je tu rovnaké ako v predchádzajúcom AND, ale je pre operátor OR.
Distribučné právo
Vlastnosť 16:
Tu sú tri premenné: X, Y a Z. Každá premenná môže byť 1 alebo 0. Zátvorky na ľavej strane symbolu rovnosti znamenajú vyhodnotiť, čo je v nich prvé. A potom je výsledok s X. Pravá strana hovorí, že X A Y spolu, ALEBO X A Z spolu, sú rovnaké ako ľavá strana. Všimnite si, že bodkový operátor pre AND sú úplne vynechané; a spojené premenné stále znamenajú AND.
Nehnuteľnosť 17:
Táto vlastnosť je rozšírením vlastnosti 16 s pridanou premennou W.
Asociačné právo
Nehnuteľnosť 18:
Zátvorky znamenajú najprv vyhodnotiť, čo je v zátvorkách. Takže pre výraz na ľavej strane, ak Y so Z sú najprv spojené AND a X je spojené s výsledkom, potom konečný výsledok na ľavej strane je rovnaký ako konečný výsledok na pravej strane. -hand-side, kde X s Y je najprv spojené AND pred výsledkom AND so Z. Všimnite si, že bodky boli v rovnici vynechané.
Nehnuteľnosť 19:
Táto vlastnosť je vysvetlená podobným spôsobom ako vlastnosť 18, ale namiesto operátora AND je použitý operátor OR. Operátor OR + sa z dôvodu jednoduchosti v boolovskom výraze nikdy nevynecháva. Na druhej strane je možné operátor AND vynechať a tieto dve premenné spojiť.
Absorpcia
Nehnuteľnosť 20:
S touto rovnicou, bez ohľadu na to, čo je Y, pravá strana bude vždy X (absorbovaná).
Nehnuteľnosť 21:
Tiež s touto rovnicou, bez ohľadu na to, čo je Y, pravá strana bude vždy X (absorbovaná). Táto vlastnosť 21 je rovnaká ako vlastnosť 20, ktorá je:
Tu používame distributívny zákon a skutočnosť, že X.X = X majetku 9.
Identita
Nehnuteľnosť 22:
To znamená, že pre výraz X + Y doplnok X pred Y nemení výraz.
Nehnuteľnosť 23:
To znamená, že pre výraz XY doplnok X ORed s Y v zátvorkách, ktorý sa vykoná ako prvý, nemení výraz XY.
DeMorganov zákon
Nehnuteľnosť 24:
To znamená, že hradlo NOR (NOT OR) má rovnaký výsledok ako OZNAČENIE dvoch vstupov pred ich spojením AND.
Nehnuteľnosť 25:
To znamená, že hradlo NAND (NOT AND) má rovnaký výsledok ako OZNAČENIE dvoch vstupov pred ORingom.
Poskytnuté ilustrácie predstavujú 25 nehnuteľností. Môžu byť dokázané nahradením všetkých rôznych možných hodnôt 1 a 0 v každom výraze na ľavej strane, aby sa zistilo, či sa získa výraz (alebo výsledok) na pravej strane. Dôkazy sú ponechané ako cvičenie pre čitateľa.
2.5 Zjednodušenie zložených výrazov
Nasledujúce dve funkcie sú rovnaké:
Z je výstup a X, W a Y sú vstupy. Prvý potrebuje bránu NAND, bránu OR, bránu AND, dve brány NOT, bránu OR a bránu NOR. Druhá potrebuje len dve brány AND. Prvým z nich je rovnica so zloženým výrazom na pravej strane, ktorá bola pre druhú rovnicu zjednodušená (redukovaná) na jediný výraz z pravej strany.
Zjednodušenie alebo zníženie vedie k menšiemu počtu brán, aby bolo možné implementovať rovnakú funkciu ako obvod. Takýto menší obvod môže byť súčasťou integrovaného obvodu (IC) alebo môže byť samostatným obvodom na povrchu základnej dosky počítača.
Keď sa funkcia (rovnica) dostane do procesu návrhu, musí dôjsť k zjednodušeniu, aby sa znížil počet brán a skončil sa lacnejší obvod. Zjednodušenie vyžaduje použitie jednej alebo viacerých z predchádzajúcich dvadsiatich piatich booleovských vlastností.
Príklad 2.51:
Znížte rovnicu:
Poznámka: Dve zátvorky vedľa seba znamenajú, že zátvorky sú spojené AND (bodka medzi nimi nie je voliteľne napísaná).
Riešenie:
Pri riešeniach je zdôvodnenie (dôvod) každého kroku uvedené vpravo od kroku v zátvorkách. Čitateľ by si mal prečítať každý krok a jeho odôvodnenie. Čitateľ by sa mal pri čítaní krokov redukcie funkcií odvolávať aj na predchádzajúce vlastnosti.
Príklad 2.52:
Zjednodušiť:
2.6 Minimálny súčet produktov
Nasledujúce dve funkcie sú rovnaké:
Obidva pravostranné výrazy oboch rovníc sú uvedené vo forme súčtu produktov (SP). Výslovný výraz sa považuje za súčet súčtu produktu, ak nemá zátvorky. Je zrejmé, že prvá funkcia (rovnica) potrebuje viac brán ako druhá funkcia.
Prvý pravostranný výraz možno ešte zmenšiť, aby sa získala druhá funkcia. Druhý výraz na pravej strane nie je možné ďalej zjednodušovať a stále ho vyjadrovať ako súčet produktov („doplnenie“ pojmov). Druhý pravostranný výraz sa už naozaj nedá zjednodušiť. Hovorí sa teda, že je vo forme minimálneho súčtu produktov (MSP).
Príklad 2.61:
Preneste nasledujúcu funkciu najskôr do formulára Súčet produktov a potom do formulára Minimálna suma produktov.
Riešenie:
Pri riešení problémov, ako je tento, sa musí použiť jedna alebo viacero z predchádzajúcich dvadsiatich piatich vlastností, ako je znázornené v tomto riešení:
2.6 Minimálny súčet produktov
Nasledujúce dve funkcie sú rovnaké:
Obidva pravostranné výrazy oboch rovníc sú uvedené vo forme súčtu produktov (SP). Výslovný výraz sa považuje za súčet súčtu produktu, ak nemá zátvorky. Je zrejmé, že prvá funkcia (rovnica) potrebuje viac brán ako druhá funkcia.
Prvý pravostranný výraz možno ešte zmenšiť, aby sa získala druhá funkcia. Druhý výraz na pravej strane nie je možné ďalej zjednodušovať a stále ho vyjadrovať ako súčet produktov („doplnenie“ pojmov). Druhý pravostranný výraz sa už naozaj nedá zjednodušiť. Hovorí sa teda, že je vo forme minimálneho súčtu produktov (MSP).
Príklad 2.61:
Preneste nasledujúcu funkciu najskôr do formulára Súčet produktov a potom do formulára Minimálna suma produktov.
Riešenie:
Pri riešení problémov, ako je tento, sa musí použiť jedna alebo viacero z predchádzajúcich dvadsiatich piatich vlastností, ako je znázornené v tomto riešení:
Tento posledný výraz je vo forme súčtu produktov (SP), ale nie vo forme minimálnej sumy produktov (MSP). Prvá časť otázky bola zodpovedaná. Riešenie pre druhú časť je nasledovné:
Táto posledná zjednodušená funkcia (rovnica) je vo forme MSP a na implementáciu potrebuje menší počet brán ako jej zodpovedajúca forma SP. Pamätajte: SP znamená súčet produktov, zatiaľ čo MSP znamená minimálny súčet produktov.
Príklad 2.62:
Nasledujúci obvod má vstupy X, Y a W a Z je výstup. Vytvorte funkciu súčtu produktov (SP) (funkcia zdanlivého minimálneho súčtu produktov) pre Z. Potom vytvorte skutočný redukovaný (minimalizovaný) súčet produktov (MSP). Následne zrealizovať okruh MsP (nakresliť hradlovú sieť MsP).
Obr 2.61 Hradlový obvod
Riešenie:
Pred začatím procesu zjednodušovania je potrebné získať výraz pre Z ako X, Y a W. Pozrite si tento príklad z diagramu:
Toto je vyjadrenie Z ako X, Y a W. Potom môže dôjsť k zjednodušeniu na zdanlivú MSP. Zdá sa, že MsP je SP.
Táto posledná rovnica (funkcia) je vo forme SP. Nie je to pravda Minimálny súčet produktov (zatiaľ nie MSP). Takže redukcia (minimalizácia) musí pokračovať.
Táto posledná rovnica (funkcia) je skutočným minimálnym súčtom produktov (MSP). A minimálny súčet produktov (skutočné minimalizovanie) hradlový obvod je:
Obr 2.62 Obvod brány MSP
Komentujte
Z analýzy v tejto časti je zrejmé, že nie je jasné, či súčet produktov je alebo nie je minimálnym súčtom produktov. SP nie je veľmi užitočný. Práve MSP je veľmi užitočné. Existuje zaručený spôsob, ako získať NPP; je použiť Karnaughovu mapu. Karnaughova mapa presahuje rámec tohto online kariérneho kurzu.
2.7 Problémy
Čitateľovi sa odporúča, aby pred prechodom na ďalšiu kapitolu vyriešil všetky problémy v kapitole.
- Vytvorte pravdivostné tabuľky AND, OR a NOT s príslušnými bránami.
- Zapíšte si desať booleovských postulátov v ich rôznych kategóriách a pomenujte kategórie.
- Bez vysvetlenia zapíšte dvadsaťšesť vlastností Booleovej algebry v ich rôznych kategóriách a pomenujte kategórie.
- Znížte rovnicu pomocou boolovských vlastností a citovaním použitých kategórií.
- Znížte rovnicu pomocou boolovských vlastností a citovaním použitých kategórií.
- Pomocou boolovských vlastností a citovaním použitých kategórií zredukujte nasledujúcu rovnicu – najprv na súčet produktov a potom na minimálny súčet produktov:
- Pomocou boolovských vlastností a citovaním použitých kategórií zredukujte nasledujúcu rovnicu – najprv na súčet produktov a potom na minimálny súčet produktov:
