Tento článok sa chystá preskúmať, čo je ortonormálny základ matice a ako ich nájsť v MATLABE pomocou orth() funkciu.
Aké sú ortonormálne základy matice
V lineárnej algebre, ortonormálny základ vektorového priestoru V s konečnou dimenziou sú bázou majúce ortonormálne vektory kde ortonormálne vektory sú jednotkové vektory, ktoré sú navzájom ortogonálne, čo znamená, že ich bodový súčin je nula.
Uvažujme dvojjednotkové vektory x a y, budú navzájom ortogonálne, ak 'x.y=0' . Tieto dva vektory sa tiež nazývajú ortonormálne vektory .
Prečo potrebujeme vypočítať ortonormálny základ
Ortonormálny základ je užitočný z hľadiska nájdenia projekcie vektora na iný vektor alebo nájdenia vzdialenosti medzi týmito dvoma vektormi. Môžeme použiť aj an ortonormálny základ na zníženie zaokrúhľovacej chyby v našich simuláciách a jediným dôvodom je to, že vektory v ortonormálnej báze sú navzájom nezávislé, takže chyba v jednom vektore sa nemôže šíriť do iných vektorov. Okrem toho nájdenie súradníc a vykonávanie lineárnej transformácie je oveľa jednoduchšie, ak je náš základ ortonormálny.
Ako nájsť ortonormálny základ matice v MATLABE?
V MATLABE môžeme nájsť ortonormálny základ pomocou vstavaného orth() funkcia, ktorá je zodpovedná za určenie ortonormálny základ danej matice. Táto funkcia akceptuje maticu ako povinný parameter a poskytuje maticu ako výstup obsahujúci ortonormálny základ danej vstupnej matice.
Syntax
The orth() Funkcia môže byť implementovaná v MATLAB prostredníctvom nasledujúcich syntaxí:
Q = orth ( A,tol )
Tu,
- Funkcia Q = orth(A) je zodpovedný za určenie ortonormálny základ pre rozsah A, kde stĺpce výstupnej matice Q predstavujú ortonormálny základ matice A a spamujú rozsah matice A. Hodnosť A sa tiež rovná počtu stĺpcov matice Q.
- Funkcia Q = orth(A,tol) je zodpovedný za určenie ortonormálny základ pre rozsah A špecifikujúci toleranciu. Singulárne hodnoty vstupnej matice A, ktoré sú menšie ako tolerancia, sa považujú za nulové ovplyvnením počtu stĺpcov Q.
Príklad 1: Ako nájsť ortonormálny základ plnej matice hodnotenia v MATLAB?
Tento kód MATLAB určuje ortonormálny základ danej štvorcovej matice A s veľkosťou n=3 s použitím orth() funkciu. Tento kód tiež nájde poradie matice A pomocou rank() funkcia na overenie, či má vstupná matica plnú hodnosť.
A = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;r = poradie ( A )
Q = orth ( A )
Príklad 2: Ako vypočítať ortonormálny základ matice s deficitom hodnotenia v MATLAB?
V tomto príklade používame orth() funkcia na nájdenie ortonormálny základ danej hodnostne deficitnej matice A. Matica A je hodnostne deficitná, pretože poradie(K)
r = poradie ( A )
Q = orth ( A )
Príklad 3: Ako nájsť ortonormálny základ plnej matice hodnotenia zadaním tolerancie v MATLAB?
Uvedený príklad počíta ortonormálny základ danej plnohodnotnej štvorcovej matice A s veľkosťou n=3 pomocou orth() funkcia s predvolenou toleranciou. Keďže A je úplná matica poradia, veľkosť A a Q (ortogonálny základ) je to isté, čo je v tomto prípade 3×3. Príklad potom vypočíta ortonormálny základ hodnoty A špecifikovaním hodnoty tolerancie 0,5, aby sa hodnoty A, ktoré sú menšie ako 0,5, považovali za singulárne hodnoty. V A sú tri singulárne hodnoty, takže A má dva ortonormálne stĺpcové vektory obsiahnuté v Qtol matice.
A = rand ( 3 ) ;r = poradie ( A )
Q = orth ( A )
Q_tol = orth ( A, 0,5 )
Záver
Nájdenie ortonormálny základ vektorový priestor je dôležitým pojmom lineárnej algebry, ktorý je komplikovaným matematickým problémom. Dá sa to však jednoducho a efektívne vyriešiť pomocou vstavaného systému MATLAB orth() funkciu. Tento článok predstavil implementáciu tejto funkcie pomocou rôznych syntaxí a príkladov.